Question

9．已知定義在集合A上的函數(shù)f（x）=log₂（x-1）+log₂（2x+1），其值域為（-∞，1]，則A=$（1，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由題意和真數(shù)大于零列出不等組，求出函數(shù)f（x）的定義域，利用對數(shù)的運算化簡解析式，由設t=2x²-x-1，由函數(shù)的值域和對數(shù)函數(shù)的性質求出集合A．

解答 解：由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，
則函數(shù)f（x）的定義域是（1，+∞），
又f（x）=log₂（x-1）+log₂（2x+1）=log₂（x-1）（2x+1）
=log₂（2x²-x-1），
設t=2x²-x-1，∵值域為（-∞，1]，∴t≤2，則2x²-x-1≤2，
即2x²-x-3≤0，解得$-1≤x≤\frac{3}{2}$，
∴集合A=$（1，\frac{3}{2}]$，
故答案為：$（1，\frac{3}{2}]$．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，對數(shù)函數(shù)的定義域，以及對數(shù)的運算性質，考查換元法的應用．