Question

3．證明：f（x）=x³-3x在[-1，1]上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 解法一：利用在[-1，1]上，f′（x）＜0，證得f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．
解法二：用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，設(shè)x₁＜x₂，運(yùn)用作差法證出f（x₁）＞f（x₂）；問(wèn)題得以解決．

解答 解：解法一：在[-1，1]上，∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3=3（x²-1）≤0，
∴f（x）=x³-3x在[-1，1]上是減函數(shù)．
解法二：設(shè)-1≤x₁≤x₂≤1，
∵f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}$-3x₁-${{x}_{2}}^{3}$+3x₂=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$）-3（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3）=（x₁-x₂）•[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3]，
由題設(shè)可得，x₁-x₂＜0，x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$＞-$\frac{3}{2}$，或x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$＜$\frac{3}{2}$，∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$＜$\frac{9}{4}$，且$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$≤$\frac{3}{4}$，
∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$＜3，∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3＜0，∴（x₁-x₂）•[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）=x³-3x在[-1，1]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，作差法是常用的方法，證明過(guò)程中注意符號(hào)的變化以及自變量的取值范圍，屬于中檔題．