Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì),恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

（1）在上遞減，在上遞增；（2）（3）

試題分析：（1）時(shí)，。先求導(dǎo)并通分整理，再令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間。（2）先求導(dǎo)，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，則，可得的值。對(duì),恒成立等價(jià)于恒成立，令，求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的最值，則。（3），令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052916259607.png" style="vertical-align:middle;" />則只要證明在上單調(diào)遞增。即證在上恒成立。將函數(shù)求導(dǎo)，分析其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)性求最值，證得即可。
（1）
得0<x<,得x>
∴在上遞減，在上遞增.
（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，  
∴，   
令，可得在上遞減，在上遞增，
∴，即.
（3）證明：，
令，則只要證明在上單調(diào)遞增，
又∵，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．
∴，即，
∴在上單調(diào)遞增，即，
∴當(dāng)時(shí)，有.