Question

（本小題滿分13分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：

輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

 

Answer 1

（1） =； （2） 當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

【解析】

試題分析： （1）本題是一個分段函數(shù)，當(dāng)車流量小于等于20時，速度為60千米/小時，當(dāng)車流量大于20時小于或等于200時通過兩端點解出一次函數(shù)的解析式．（2）通過計算分段函數(shù)一個是一次函數(shù)，一個是二次函數(shù)來確定最大值．本題屬于分段函數(shù)的應(yīng)用，這類應(yīng)用題關(guān)鍵就是審清題意．分段函數(shù)的最大值是分別求出各段函數(shù)的最大值，再求出總的最大值．

試題解析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得

故函數(shù)的表達式為= 6分

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 8分

當(dāng)時，為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為；

當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

所以，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值． ．12分

綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，

最大值約為3333輛/小時 ．．．13分

考點：函數(shù)的應(yīng)用問題．