Question

20．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₇=13，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．
（1）求a_n及b_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，利用數(shù)列遞推關(guān)系可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=3，a₇=13，
∴a₁+d=3，a₁+6d=13，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．
∴b₁=S₁=4，
n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）-$\frac{4}{3}（{4}^{n-1}-1）$=4ⁿ，n=1時(shí)也成立．
∴b_n=4ⁿ．
（2）a_nb_n=（2n-1）•4ⁿ．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n=4+3×4²+5×4³…+（2n-1）•4ⁿ，
4T_n=4²+3×4³+…+（2n-3）•4ⁿ+（2n-1）•4ⁿ⁺¹．
∴-3T_n=4+2（4²+4³+…+4ⁿ）-（2n-1）•4ⁿ⁺¹=$2×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$-4-（2n-1）•4ⁿ⁺¹．
∴T_n=$\frac{6n-5}{9}$•4ⁿ⁺¹+$\frac{20}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．