Question

11．已知圓M的圓心在直線x+y=0上，半徑為1，直線l：6x-8y-9=0被圓M截得的弦長為$\sqrt{3}$，且圓心M在直線l的右下方．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線mx+y-m+1=0與圓M交于A，B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PO|=$\sqrt{2}$|PM|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求△PAB面積的最大值，并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用直線l：6x-8y-9=0被圓M截得的弦長為$\sqrt{3}$，且圓心M在直線l的右下方，求出圓心坐標(biāo)，即可求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）要使△PAB的面積最大，點(diǎn)P到直線AB的距離d最大，利用P點(diǎn)在以（2，-2）為圓心，2為半徑的圓上，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知可設(shè)圓心M（a，-a），圓心到直線l的距離為d，
則d=$\frac{|6a+8a-9|}{10}$=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$，…（1分）
于是，整理得|14a-9|=5，解得a=1，或a=$\frac{2}{7}$．…（3分）
∵圓心M在直線l的右下方，
∴圓心M是（1，-1），
∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+1）²=1．…（4分）
（2）直線mx+y-m+1=0可變形為m（x-1）+y+1=0，即過定點(diǎn)（1，-1），
∴動直線mx+y-m+1=0恰好過圓M的圓心，
∴|AB|=2．…（5分）
設(shè)P（x，y），則由|PO|=$\sqrt{2}$|PM|，可得x²+y²=2[（x-1）²+（y+1）²]，
整理得（x-2）²+（y+2）²=4，即P點(diǎn)在以（2，-2）為圓心，2為半徑的圓上，…（7分）
設(shè)此圓圓心為N，則N（2，-2）．
∴要使△PAB的面積最大，點(diǎn)P到直線AB的距離d最大，
d_max=|PM|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-2+1）^{2}}$+2=$\sqrt{2}$+2，
∴△PAB面積的最大值為=$\sqrt{2}+2$．…（8分）
∵M(jìn)N的方程為y=-x，…（9分）
代入方程（x-2）²+（y+2）²=4中，可解得x=4，或0 （舍去），
∴此時P（4，-4）．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．