Question

8．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線x=-a與y=b交于點D，且|BD|=3$\sqrt{2}$，過點B作直線l交直線x=-a于點M，交橢圓于另一點P．
（1）求直線MB與直線PA的斜率之積；
（2）證明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$為定值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組，求解可得橢圓的方程．設(shè)M（-2，y₀），P（x₁，y₁），推出$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀）．直線BM的方程，代入橢圓方程，由韋達定理得x₁，y₁，由此能求出直線MB與直線PA的斜率之積．
（2）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=-2x₁+y₀y₁，由此能證明$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$為定值．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線x=-a與y=b交于點D，且|BD|=3$\sqrt{2}$，
∴由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（2{a）}^{2}+^{2}}=3\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$．
∴A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（-2，y₀），P（x₁，y₁），
則$\overrightarrow{OP}$（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀），
直線BM的方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{4}$（x-2），即y=-$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{1}{2}{y}_{0}$，
代入橢圓方程x²+2y²=4，得（1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{8}$）x²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}x$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$-4=0，
由韋達定理，得2x₁=$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
∴${x}_{1}=\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，${y}_{1}=\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
∴k_MB•k_PA=$\frac{{y}_{0}}{-4}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-$\frac{{y}_{0}}{4}$×$\frac{\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}}{\frac{2{{y}_{0}}^{2}-16}{{{y}_{0}}^{2}+8}+2}$=-$\frac{{y}_{0}}{4}•\frac{8{y}_{0}}{4{{y}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴直線MB與直線PA的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．
證明：（2）∵$\overrightarrow{OP}$（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀），
${x}_{1}=\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，${y}_{1}=\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=-2x₁+y₀y₁=-$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$+$\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+32}{{{y}_{0}}^{2}+8}$=4．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$為定值4．

點評 本題考查兩直線斜率之積的求法，考查兩向量的數(shù)量積為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線、向量、專達定理等知識點的合理運用．