Question

8．已知雙曲線M：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，且S_△ABF=1-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F．
（1）求雙曲線M和拋物線N的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)？如果經(jīng)過(guò)，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過(guò)，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得p的值，求得拋物線N的方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，聯(lián)立y=-2，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)，由$\frac{2-m}{8}$x₀²+m（m+2）-8=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x₀（x₀≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ為直徑的圓是否恒過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．

解答 解：（1）由雙曲線M：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，①
三角形的面積S=$\frac{1}{2}$（c-a）b=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，②
由c²=a²+b²，③
解得：a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{y}^{2}}{3}-{x}^{2}=1$，則雙曲線的上焦點(diǎn)F（0，2），
則拋物線N的方程：x²=8y；
（2）由（1）可得拋物線N的方程：x²=8y，準(zhǔn)線方程y=-2，
由y=$\frac{1}{8}$x²，y′=$\frac{1}{4}$x，設(shè)P（x₀，$\frac{1}{8}$x₀²），則直線l的方程y-$\frac{1}{8}$x₀²=$\frac{1}{4}$x₀（x-x₀），
即y=$\frac{1}{4}$x₀x-$\frac{1}{8}$x₀²，聯(lián)立y=-2，則Q（$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2{x}_{0}}$，-2），
假設(shè)存在定點(diǎn)M（0，m）滿足假設(shè)條件，則$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，對(duì)任意點(diǎn)恒成立，
則$\overrightarrow{MP}$=（x₀，$\frac{1}{8}$x₀²-m），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2{x}_{0}}$，-2-m），
∴$\frac{{x}_{0}^{2}-16}{2}$-（m+2）（$\frac{1}{8}$x₀²-m）=0，即$\frac{2-m}{8}$x₀²+m（m+2）-8=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x₀（x₀≠0）恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{2-m=0}\\{m（m+2）-8=0}\end{array}\right.$，解得：m=2，
∴以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的定點(diǎn)M（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查拋物線的性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．