Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-2ax-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x），討論g（x）的零點個數(shù)；若存在零點，請求出所有的零點或給出每個零點所在的有窮區(qū)間，并說明理由（注：有窮區(qū)間指區(qū)間的端點不含有-∞和+∞的區(qū)間）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時的f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，討論x＞0，x＜0，即可得到所求單調(diào)性；
（Ⅱ）由條件可得g（x）=2ax-2a，g′（x）=e^x+2a，對a討論：a=0，a＞0，分①1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$時，②1-2a=0，即a=$\frac{1}{2}$時，③1-2a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，a＜0，分①ln（-2a）-2＜0，即-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜a＜0時，②ln（-2a）-2=0，即a=-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，③ln（-2a）-2＞0，即a＜-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)零點存在定理，即可判斷零點的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）=e^x+x-1，
易知f′（x）在R上單調(diào)遞增，且f′（0）=0，
因此，當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0．
故f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；                 
（Ⅱ）由條件可得g（x）=e^x+2ax-2a，g′（x）=e^x+2a，
（i）當(dāng)a=0時，g（x）=e^x＞0，g（x）無零點；
（ii）當(dāng)a＞0時，g′（x）＞0，g（x）在R上單調(diào)遞增，
g（0）=1-2a，g（1）=e＞0，
①若1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$時，g（0）=1-2a＜0，g（x）在（0，1）上有一個零點；
②若1-2a=0，即a=$\frac{1}{2}$時，g（0）=0，g（x）有一個零點0；
③若1-2a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，g（$\frac{2a-1}{2a}$）=e${\;}^{\frac{2a-1}{2a}}$-1＜0，
g（x）在（$\frac{2a-1}{2a}$，0）上有一個零點；                                                       
（iii）當(dāng)a＜0時，令g′（x）＞0，得x＞ln（-2a）；
令g′（x）＜0，得x＜ln（-2a）．
所以g（x）在（-∞，ln（-2a））單調(diào)遞減，在（ln（-2a），+∞）單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（ln（-2a））=2a[ln（-2a）-2]；
①若ln（-2a）-2＜0，即-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜a＜0時，g（x）＞0，g（x）無零點；
②若ln（-2a）-2=0，即a=-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，g（2）=0，g（x）有一個零點2；
③若ln（-2a）-2＞0，即a＜-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，g（1）=e＞0，g（ln（-2a））＜0，
g（x）在（1，ln（-2a））有一個零點；                                              
設(shè)h（x）=e^x-x²（x≥1），則h′（x）=e^x-2x，
設(shè)u（x）=e^x-2x，則u′（x）=e^x-2，
當(dāng)x≥1時，u′（x）≥e-2＞0，所以u（x）=h′（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
h′（x）≥h′（1）=e-2＞0，所以h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
h（x）≥h（1）=e-1，即x＞1時，e^x＞x²，故g（x）＞x²+2ax-2a，
設(shè)k（x）=lnx-x（x≥1），則k′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$≤0，所以k（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
k（x）≤k（1）=-1＜0，即x＞1時，lnx＜x，
因為a＜-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，-2a＞e²＞1，所以ln（-2a）＜-2a，
又g（-2a）＞（-2a）²+2a（-2a）-2a=-2a＞0，g（x）在（ln（-2a），-2a）上有一個零點，
故g（x）有兩個零點．
綜上，當(dāng)a＜-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，g（x）在（1，ln（-2a））和（ln（-2a），-2a）上各有一個零點，共有兩個零點；
當(dāng)a=-$\frac{{e}^{2}}{2}$時，g（x）有一個零點2；當(dāng)-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜a≤0時，g（x）無零點；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，g（x）在（$\frac{2a-1}{2a}$，0）上有一個零點；當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，g（x）有一個零點0；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，g（x）在（0，1）上有一個零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查函數(shù)的零點的判斷，注意運用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，以及轉(zhuǎn)化思想的運用，具有一定的難度．