Question

2．已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：a₁=1，b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，b_n=$\frac{{3+{{（-1）}^n}}}{2}$且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）令c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，試判斷：$\frac{{{C_{k+1}}}}{C_k}$是否對于同一個常數(shù)；若是，求出這個常數(shù)，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的通項公式和遞推公式即可求出，
（Ⅱ）根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項公式，即可得$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=4

解答 解：（I）：由${b_n}=\frac{{3+{{（-1）}^n}}}{2}，n∈{N^*}$，可得${b_n}=\left\{\begin{array}{l}1，n為奇數(shù)\\ 2，n為偶數(shù)\end{array}\right.$…1分
又${a_n}{b_{n+1}}+{a_{n+1}}{b_n}=1+{（-2）^n}$，a₁=1
當(dāng)n=1時，a₁b₂+a₂b₁=-1，得a₂=-3…3分
當(dāng)n=2時，a₂b₃+a₃b₂=5，得a₃=4…5分
（II）證明：${a_n}{b_{n+1}}+{a_{n+1}}{b_n}=1+{（-2）^n}$，n∈N^*，
∴令n=2k-1（k∈N^*），則$2{a_{2k-1}}+{a_{2k}}=1+{（-2）^{2k-1}}$①…7分
令n=2k（k∈N^*），則${a_{2k}}+2{a_{2k+1}}=1+{（-2）^{2k}}$②…9分
由①②得${a_{2k+1}}-{a_{2k-1}}=3×{2^{2k-2}}$，即c_k=3×2^2k-2
因此$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=4，…12分．

點評 本題考查了通過數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．