Question

13．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ=3，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+m}\\{y=2t-1}\end{array}}\right.$，（t是參數(shù)，m是常數(shù)）
（1）求C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂的普通方程；
（2）若C₂與C₁有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，以及參數(shù)方程與普通方程的互化求解即可．
（2）聯(lián)立兩個(gè)普通方程，利用判別式列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得${C_1}：{ρ^2}（{cos^2}θ-{sin^2}θ）=3$，所以x²-y²=3；---------------（2分）
消去參數(shù)t得C₂的方程：y=2x-2m-1----------------------（4分）
（2）由（1）知C₁是雙曲線，C₂是直線，把直線方程代入雙曲線方程消去y得：3x²-4（2m-1）x+4m²+4m+4=0，-------------------------（7分）
若直線和雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則△=16（2m-1）²-12（4m²+4m+4）＞0，
解得：m＞1或m＜-2-----------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．