Question

5．設(shè)點(diǎn)M（x₀，2-x₀），設(shè)在圓O：x²+y²=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°，則實(shí)數(shù)x₀的取值范圍為[0，2]．

Answer 1

分析 過M作⊙O切線交⊙C于R，則∠OMR≥∠OMN，由題意可得∠OMR≥30°，|OM|≤2．再根據(jù)M（x₀，2-x₀），求得x₀的取值范圍．

解答 解：過M作⊙O切線交⊙C于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMR≥∠OMN．
反過來，如果∠OMR≥30°，則⊙O上存在一點(diǎn)N使得∠OMN=30°
∴若圓O上存在點(diǎn)N，使∠OMN=30°，則∠OMR≥30°．
∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．
又∵M(jìn)（x₀，2-x₀），
∴|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2-x₀）²=2x₀² -4x₀+4，
∴2x₀²-4x₀+4≤4，解得，0≤x₀≤2．
∴x₀的取值范圍是[0，2]，
故答案為[0，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓相切時(shí)切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．