【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,射線交橢圓于點,交直線于點.

(1)求的最小值;

(2)若,求證:直線過定點.

【答案】(1).(2)見解析

【解析】試題分析:(1)設(shè),聯(lián)立直線和橢圓方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理,求出點的坐標(biāo)和所在直線方程,求點 的坐標(biāo),利用基本不等式即可求得 的最小值;
(2)由(1)知所在直線方程,和橢圓方程聯(lián)立,求得點的坐標(biāo),并代入 ,得到 ,因此得證直線過定點;

試題解析:(1)設(shè)直線 的方程為,由題意, ,

由方程組,得,

由題意,所以,

設(shè),

由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以,

由于為線段的中點,因此,

此時,所以所在直線的方程為,

又由題意知,令,得,即,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號成立,

此時由,因此當(dāng)時, 取最小值.

(2)證明:由(1)知所在直線的方程為

將其代入橢圓的方程,并由,解得,

,

由距離公式及

,

,得

因此直線的方程為,所以直線恒過定點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知O為坐標(biāo)原點,設(shè)動點M(2,t)(t>0).
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【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分別是CD、CC1的中點,則直線A1M與DN所成角的大小是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四面體的三視圖,則該四面體的外接球半徑為( )

A.2
B.
C.
D.2

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(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率;
(2)若k=1,則你的得分為5分;若k=2,則你的得分為3分;若k=3,則你的得分為1分;若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字則記0分,求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高,綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng),市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡借車,初次辦卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20積分,當(dāng)積分為0時,借車卡將自動鎖定,限制借車,用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡,為了鼓勵市民租用公共自行車出行,同時督促市民盡快還車,方便更多的市民使用,公共自行車按每車每次的租用時間進(jìn)行扣分收費,具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下:

①租用時間不超過1小時,免費;

②租用時間為1小時以上且不超過2小時,扣1分;

③租用時間為2小時以上且不超過3小時,扣2分;

④租用時間超過3小時,按每小時扣2分收費(不足1小時的部分按1小時計算).

甲、乙兩人獨立出行,各租用公共自行車一次,兩人租車時間都不會超過3小時,設(shè)甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5;租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.4和0.3.

(1)求甲、乙兩人所扣積分相同的概率;

(2)設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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