Question

19．將函數f（x）=xsinx，當${x_1}，{x_2}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$時，f（x₁）＞f（x₂）成立，下列結論正確的是（　�。�

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＞|x₂|
• C． x₁＜x₂
• D． x${\;}_{1}^{2}$＞x${\;}_{2}^{2}$

Answer 1

分析 由于f（-x）=f（x），故函數f（x）=xsinx為偶函數，則f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=sinx+xcosx，當x＞0時，f′（x）＞0，從而可得答案．

解答 解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數f（x）=xsinx為偶函數，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當$\frac{π}{2}$＞x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞增．
∵f（x₁）＞f（x₂），結合偶函數的性質
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x₁²＞x₂²，
故選：D．

點評 本題考查函數f（x）=xsinx的奇偶性與單調性，得到f（x）為偶函數，在[0，$\frac{π}{2}$]上單調遞增是關鍵，考查分析轉化能力，屬于中檔題．