Question

20．在數(shù)列{a_n}中，設(shè)f（n）=a_n，且f（n）滿足f（n+1）-2f（n）=2ⁿ（n∈N*），且a₁=1．
（1）設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得b_n+1-b_n=1，即可證明．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由已知得${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}$，
得${b_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{{2{a_n}+{2^n}}}{2^n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}+1={b_n}+1$，
∴b_n+1-b_n=1，
又a₁=1，∴b₁=1，
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知，${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=n$，∴${a_n}=n•{2^{n-1}}$．
∴${S_n}=1+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，
兩邊乘以2，得$2{S_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，
兩式相減得$-{S_n}=1+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴${S_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．