Question

11．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC₁，BB₁上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB=2．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，有BM∥平面AEF，并加以證明．
（2）求四棱錐A-BCEF的表面積．

Answer 1

分析 （1）M為AC中點(diǎn)；取AE的中點(diǎn)O，連接OF，OM；證明BM∥OF，即可證明BM∥平面AEF；
（2）分別計(jì)算四棱錐A-BCEF各個(gè)面的面積，求和即可．

解答 解：（1）M為AC中點(diǎn)；
證明如下：取AE的中點(diǎn)O，連接OF，OM；
∵O，M分別為AE，AC的中點(diǎn)，
∴OM∥CE，
∵BF∥CE，且EC=2FB=2，

∴OM∥FB∥CE，且OM=FB=$\frac{1}{2}CE$；
∴四邊形OMBF為矩形，
故BM∥OF；
又BM?平面AEF，OF?平面AEF，
∴BM∥平面AEF；
（2）四棱錐A-BCEF的表面積為
S=S_梯形BCEF+S_△ABC+S_△ABF+S_△AEF+S_△ACE
=$\frac{1}{2}$×（1+2）×2+$\frac{1}{2}$×2²×sin$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5-2}$+$\frac{1}{2}$×2×2
=6+$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了幾何體表面積的計(jì)算問題，是綜合題．