Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=log₃（a+x）+log₃（2-x）（a∈R）是偶函數(shù)．
（1）若f（p）=1，求實(shí)數(shù)p的值；
（2）若存在m使得f（2m-1）＜f（m）成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x），求出a的值，寫出f（x）的解析式，利用f（p）=1，解方程求出p的值；
（2）化簡(jiǎn)f（x），判斷f（x）的單調(diào)性，把f（2m-1）＜f（m）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式組，求出解集即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，所以滿足f（-x）=f（x）；
即f（-x）=log₃（a-x）+log₃（2+x）=f（x）=log₃（a+x）+log₃（2-x），
所以（a-x）（2+x）=（a+x）（2-x），
解得a=2；
（1）f（x）=log₃（2+x）+log₃（2-x），
其定義域?yàn)椋?2，2）；
因?yàn)閒（p）=1，所以log₃（2+p）+log₃（2-p）=1，
即4-p²=3，解得p=±1；
所以實(shí)數(shù)p的值為±1．
（2）因?yàn)?f（x）={log_3}（2+x）+{log_3}（2-x）={log_3}（4-{x^2}）$，
所以函數(shù)f（x）在（-2，0]上單調(diào)遞增，在[0，2）上單調(diào)遞減；
因?yàn)閒（2m-1）＜f（m），所以f（|2m-1|）＜f（|m|），
所以有$\left\{\begin{array}{l}|{2m-1}|＞|m|\\-2＜2m-1＜2\\-2＜m＜2\end{array}\right.$，
解得$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{1}{3}$或$1＜m＜\frac{3}{2}$；
所以滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}）∪（1，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．