Question

經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l，若l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，則當(dāng)把直角坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角時(shí)，A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)PQ的方程為：y=k（x-1），設(shè)P（x₁，2

x1

），Q（x₂，2

x2

　　），過P作PM⊥x軸，交x軸于M點(diǎn)，過Q作QN⊥x軸，交x軸于N點(diǎn)，聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，x₁+x₂=

4+2k2

k2

，x₁x₂=1，將坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角，折后|PQ|²=|QN|²+|PM|²+|MN|²=4（x₁+x₂）+（x₁-x₂）²，由此能求出翻折后線段PQ的長度最小值．

解答： 解：如圖，過點(diǎn)（1，0）的直線與拋物線y²=4x交于P、Q兩點(diǎn)，
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
∴直線PQ過F（1，0），
設(shè)PQ的方程為：y=k（x-1），
設(shè)P（x₁，2

x1

），Q（x₂，2

x2

　�。�，
過P作PM⊥x軸，交x軸于M點(diǎn)，|PM|=2

x1

，
過Q作QN⊥x軸，交x軸于N點(diǎn)，|QN|=2

x2

，
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
x₁+x₂=

4+2k2

k2

，x₁x₂=1，
將坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角，得到如下圖所示的圖形，
由圖形知，折后QN⊥平面PMN，
|PQ|²=QN²+|PN|²
=|QN|²+|PM|²+|MN|²
=4（x₁+x₂）+（x₁-x₂）²
=4（x₁+x₂）+（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=

16+8k2

k2

+

16+16k2+4k4

k4

-4
=8+

8

k2

+

16

k4

＞8．
∴|PQ|＞

8

=2

2

．
∴翻折后線段PQ的長度最小值等于2

2

．
故答案為2

2

．

點(diǎn)評：本題考查翻折后線段長度最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．