【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.
(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵四棱錐P﹣ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,
BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點,
∴以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,過D作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角系,
設PC=AD=2DC=2CB=2,
則C(0,1,0),D(0,0,0),P(1,0,1),E( ),A(2,0,0),B(1,1,0),
=( ), =(1,0,﹣1), =(0,1,﹣1),
設平面PAB的法向量 =(x,y,z),
則 ,取z=1,得 =(1,1,1),
∵ = =0,CE平面PAB,
∴CE∥平面PAB.
解:(Ⅱ) =(﹣1,1,﹣1),設平面PBC的法向量 =(a,b,c),
則 ,取b=1,得 =(0,1,1),
設直線CE與平面PBC所成角為θ,
則sinθ=|cos< >|= = = .
∴直線CE與平面PBC所成角的正弦值為 .
【解析】(Ⅰ)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,過D作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角系,利用向量法能證明CE∥平面PAB.
(Ⅱ)求出平面PBC的法向量和 ,利用向量法能求出直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,圓O為△ABC的外接圓,過點C作圓O的切線交AB的延長線于點D,∠ADC的平分線交AC于點E,∠ACB的平分線交AD于點H.
(1)求證:CH⊥DE;
(2)若AE=2CE.證明:DC=2DB.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】在(2x-3y)10的展開式中,求:
(1)各項的二項式系數(shù)的和;
(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和;
(3)各項系數(shù)之和;
(4)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和.
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【題目】如圖,在正三棱柱中,AB=2,由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點C1的最短路線與棱的交點記為M,求:
(Ⅰ)三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長.
(Ⅱ)該最短路線的長及的值.
(Ⅲ)平面與平面ABC所成二面角(銳二面角)
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.
(1)求該三棱柱的體積;
(2)設D是BB1的中點,求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
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