Question

已知函數f（x）=

sin2x(sinx-cosx)

cosx

（1）求函數f（x）的定義域及最大值；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值,二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：三角函數的求值

分析：（1）根據函數f（x）的解析式可得cosx≠0，求得x的范圍，從而求得函數f （x）的定義域．再利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為1-

2

sin(2x+

π

4

)，從而求得函數的最大值．
（2）由題意得1-

2

sin(2x+

π

4

)≥0，即sin(2x+

π

4

)≤

2

2

，解得x的范圍，再結合函數的定義域，求得滿足f（x）≥0 的x的取值集合．

解答： 解：（1）根據函數f（x）=

sin2x(sinx-cosx)

cosx

，可得cosx≠0，故x≠kπ+

π

2

，k∈Z，
即函數f （x）的定義域為 {x|x∈R，且x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．
又∵f(x)=

2sinxcosx(sinx-cosx)

cosx

=2sin2x-2sinxcosx=2×

1-cos2x

2

-sin2x=1-（sin2x+cos2x）=1-

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f(x)max=1+

2

．
（2）由題意得1-

2

sin(2x+

π

4

)≥0，即sin(2x+

π

4

)≤

2

2

，
解得2kπ+

3π

4

≤2x+

π

4

≤2kπ+

9π

4

，k∈Z，整理得kπ+

π

4

≤x≤kπ+π，k∈Z．
結合x≠kπ+

π

2

，k∈Z知滿足f（x）≥0 的x的取值集合為 {x|kπ+

π

4

≤x≤kπ+π，且x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．

點評：本題主要三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的圖象和性質應用，屬于中檔題．