Question

如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求證：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角θ的大��；
（3）求B₁到平面PAD的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO，根據(jù)正四棱錐的幾何特征易得PO⊥面ABCD，進(jìn)而PO⊥BD，再由正方形對(duì)角線互相垂直得AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，進(jìn)而PA⊥BD，結(jié)合BD∥B₁D₁，即可得到PA⊥B₁D₁；
（2）過點(diǎn)O作OM⊥PD于點(diǎn)M，連接AM，由（1）中結(jié)論，可證得∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，解三角形AMO，即可得到平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角θ的大��；
（3）分別取AD，BC中點(diǎn)E，F(xiàn)，作平面PEF，交底面于兩點(diǎn)S，S₁，交B₁C₁于點(diǎn)B₂，過點(diǎn)B₂作B₂B₃⊥PS于點(diǎn)B₃，則B₂B₃⊥面PAD，即B₂B₃的長(zhǎng)就是點(diǎn)B₁到平面PAD的距離．

解答：證明：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO，
則PO⊥面ABCD，又∵AC⊥BD，
∴PA⊥BD，
∵BD∥B₁D₁，∴PA⊥B₁D₁．（4分）
解：（2）∵AO⊥BD，AO⊥PO，
∴AO⊥面PBD，
過點(diǎn)O作OM⊥PD于點(diǎn)M，連接AM，
則AM⊥PD，
∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（6分）
又∵AB=2，PA=

6

，
∴OD=

2

，PO=

6-2

=2，
OM=

PO•OD

PD

=

2× 2

6

=

2

3

，
∴tan∠AMO=

AO

OM

=

2

2 3

=

6

2

，
即二面角的大小為arctan

6

2

．（8分）
（3）分別取AD，BC中點(diǎn)E，F(xiàn)，作平面PEF，交底面于兩點(diǎn)S，S₁，交B₁C₁于點(diǎn)B₂，
過點(diǎn)B₂作B₂B₃⊥PS于點(diǎn)B₃，則B₂B₃⊥面PAD，又B₁C₁∥AD，
∴B₂B₃的長(zhǎng)就是點(diǎn)B₁到平面PAD的距離．（10分）
∵PO=AA₁=2，
∴EF=

SS1

2

=2，tan∠PSS₁=

4

2

=2，sin∠PSS₁=

2

5

，
∴B₂B₃=B₂Ssin∠PSS₁=3×

2

5

=

6 5

5

．（（12分） ）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求不地，空間點(diǎn)到平面的距離，直線與直線垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是確定∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（3）的關(guān)鍵是得到B₂B₃的長(zhǎng)就是點(diǎn)B₁到平面PAD的距離．