Question

16．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sinA=acosC，c=$\sqrt{3}$．
（1）求角C；
（2）求acosB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求得$tanC=\sqrt{3}$，即可得解三角形內(nèi)角C的值．
（2）根據(jù)正弦定理及已知可求acosB=2sinAcosB，由$B=\frac{2}{3}π-A$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得acosB=-sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求$sin（2A+\frac{π}{3}）∈[{-1，1}]$，進(jìn)而可求acosB的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{cosC}=\frac{c}{sinC}$，
因?yàn)椋?c=\sqrt{3}$，
所以：$tanC=\sqrt{3}$，
所以：$C=\frac{π}{3}$．----------（4分）
（2）根據(jù)正弦定理可知：$a=\frac{c}{sinC}×sinA=2sinA$，
則：acosB=2sinAcosB，
因?yàn)椋?A+B=\frac{2}{3}π$，
所以：$B=\frac{2}{3}π-A$，
所以：$acosB=2sinAcos（\frac{2}{3}π-A）$
=$2sinA（-\frac{1}{2}cosA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA）=-\frac{1}{2}sin2A-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2A+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-sin（2A+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因?yàn)椋?A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以：$2A+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$，
所以：$sin（2A+\frac{π}{3}）∈[{-1，1}]$，
$則-sin（2A+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1}]$，
$即acosB∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1}]…（12分）$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．