Question

16．若動(dòng)直線x=a與$f（x）=sin（{x+\frac{π}{6}}）$和g（x）=2cosx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₀，sin（x₀+$\frac{π}{6}$） ），N（x₀，2cosx₀），化簡(jiǎn)|MN|為|sin（x₀+$\frac{π}{6}$）|，利用正弦函數(shù)的有界性求得它的最最大値．

解答 解：直線x=a與$f（x）=sin（{x+\frac{π}{6}}）$和g（x）=2cosx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，
設(shè)M（x₀，sin（x₀+$\frac{π}{6}$） ），N（x₀，2cosx₀），
則|MN|=|2cosx₀-sin（x₀+$\frac{π}{6}$）|=|$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx₀-$\frac{3}{2}$cosx₀|
=$\sqrt{3}$•|$\frac{1}{2}$sinx₀ -$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx₀|=$\sqrt{3}$|sin（x₀-$\frac{π}{3}$）|≤$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z時(shí)，即x₀ =kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z時(shí)，等號(hào)成立，則|MN|的最大值為$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，考查兩點(diǎn)間的距離公式與輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的有界性，屬于中檔題．