Question

8．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并且有$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，當(dāng)2≤x≤3時，f（x）=x，則f（105.5）=2.5．

Answer 1

分析 由$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，求出函數(shù)的周期是4，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，把f（105.5）轉(zhuǎn)化為f（2.5），代入所給的解析式進行求解．

解答 解：∵$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+4）=f（x），則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（105.5）=f（4×26+1.5）=f（1.5），又f（1.5）=f（1.5-4）=f（-2.5），
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-2.5）=f（2.5），
∵當(dāng)2≤x≤3時，f（x）=x，∴f（2.5）=2.5，
則f（105.5）=f（2.5）=2.5，
故答案為：2.5．

點評 本題考查了函數(shù)周期性和奇偶性的應(yīng)用，即根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)和奇偶性對應(yīng)的關(guān)系式，將所求的函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到已知范圍內(nèi)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想．