Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-2x）-2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-2x）-2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為2-1=1；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{4π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值為-$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．