Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，那么“左特征點(diǎn)”M一定是（　�。�

• A、橢圓左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)
• B、坐標(biāo)原點(diǎn)
• C、橢圓右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)
• D、右焦點(diǎn)

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：新定義,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出點(diǎn)M（m，0）為橢圓的左特征點(diǎn)，根據(jù)橢圓左焦點(diǎn)，設(shè)出直線AB的方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，得k_AM+k_BM=0，利用韋達(dá)定理，求出結(jié)論．

解答： 解：如圖所示，設(shè)M（m，0）為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)F（-c，0），
可設(shè)直線AB的方程為x=ky-c（k≠0）
代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得：b²（ky-c）²+a²y²=a²b²，
即（a²+b²k²）y²-2kcb²y+b²c²-a²b²=0，
（a²+b²k²）y²-2kcb²y-b⁴=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得y₁+y₂=

2kcb2

a2+b2k2

，y₁y₂=-

b4

a2+b2k2

∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
即y₁（ky₂-c）+y₂（ky₁-c）-（y₁+y₂）m=0，
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+c）=0，
∴2k•（-

b4

a2+b2k2

）-

2kcb2

a2+b2k2

•（m+c）=0
∵k≠0，∴b²+c（m+c）=0，
即m=-

b2

c

-c=-

a2

c

，
∴M（-

a2

c

，0）；
即點(diǎn)M是橢圓左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用問題以及直線與橢圓相交關(guān)系的處理問題，解題時(shí)應(yīng)靈活設(shè)出直線AB的方程，以避免討論直線的斜率是否存在，是中檔題．