Question

14．函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=log₂（x+1）．
（1）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式；
（2）用分段函數(shù)形式寫(xiě)出函數(shù)f（x）在R上的解析式，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出f（x）的草圖．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，結(jié)合函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=log₂（x+1），可得答案；
（2）根據(jù)f（0）=0及（1）中結(jié)論，可得分段函數(shù)形式的函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而得到函數(shù)的圖象．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
此時(shí)f（-x）=log₂（-x+1）．
又由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
故f（x）=-f（-x）=-log₂（-x+1）．
（2）又∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（0）=0，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{log}_{2}（-x+1），x＜0\\ 0，x=0\\{log}_{2}（x+1），x＞0\end{array}\right.$，
函數(shù)的圖象如下圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的圖象，難度中檔．