Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若?x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x}}$，令f′（x）=0，解得x=0，2．列表如下，即可得出極值．
（2）?x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立?[g（x）]_min≤[f（x）]_max，x∈（0，+∞）．由（1）可得：[f（x）]_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可得出極小值即最小值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2x{e}^{2}-{x}^{2}{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，解得x=0，2．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

可知：當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（0）=0．當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（2）?x₁、x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）≤f（x₂）成立，?[g（x）]_min≤[f（x）]_max，x∈（0，+∞）．
由（1）可得：[f（x）]_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$（x＞0，a＞0）．
可知：當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，
∴g（a）=lna+1≤$\frac{4}{{e}^{2}}$．
∴0＜a≤${e}^{\frac{4-{e}^{2}}{{e}^{2}}}$．
因此a的取值范圍是$（0，{e}^{\frac{4-{e}^{2}}{{e}^{2}}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．