Question

7．已知遞增等比數(shù)列{a_n}的第3項，第5項，第7項的積為512，且這三項分別減去1，3，9后構(gòu)成一個等差數(shù)列，則數(shù)列a_n的公比為（　�。�

• A． $±\sqrt{2}$
• B． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵第3項，第5項，第7項的積為512，且這三項分別減去1，3，9后構(gòu)成一個等差數(shù)列，
∴a₃a₅a₇=${a}_{5}^{3}$=512，2（a₅-3）=a₃-1+a₇-9，即2（a₅-3）=$\frac{{a}_{5}}{{q}^{2}}$+${a}_{5}{q}^{2}$-10，
解得a₅=8，2q⁴-5q²+2=0，
q²=$\frac{1}{2}$，或2．
q=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，$±\sqrt{2}$，
∵數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，∴q=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．