Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x+1，a∈R．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，求f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=e^x-x，若對(duì)于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出極值；
（2）對(duì)于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，則有f（x）_max≤g（x）_min．利用導(dǎo)數(shù)分別在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，…（2分）
f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$
當(dāng)（0，1），（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)（1，2）時(shí)，f′（x）＜0所以在單調(diào)遞減．…（3分）
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值-$\frac{1}{4}$，當(dāng)x=2時(shí)，有極小值ln2-1．…（5分）
（2）由g（x）=e^x-x，則g'（x）=e^x-1，
令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（-∞，0）是減函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)，
即g（x）_最小值=g（0）=1．…（7分）
對(duì)于“對(duì)于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立”等價(jià)于f（x）_最大值≤1．
又因?yàn)閒′（x）=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$…（8分）
①當(dāng)a=0時(shí)，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）_最大值=f（1）=0＜1，
∴a=0符合題意．．…（10分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）_最大值=f（1）=-a≤1，
得-1≤a＜0，
∴-1≤a＜0符合題意．…（12分）
③當(dāng)a＞0時(shí)，a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
而當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，這與對(duì)于任意的x∈（0，+∞）時(shí)f（x）≤1矛盾．
同理0＜a＜$\frac{1}{2}$與a$＞\frac{1}{2}$時(shí)也不成立．
綜上所述：a的取值范圍為[-1，0]．…（14分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考察了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．