Question

11．如圖，△ABC各邊長均為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）證明：平面ADF⊥平面BCD；
（2）求三棱錐C-DEF的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明AD⊥平面BCD即可．
（2）證明EH是三棱錐E-CDF的高，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．
（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE．

解答 解：（1）證明：連接EF交CD于H，則EF是△ABC的中位線，
在正△ABC中，AD⊥CD，BD⊥CD，
折疊后，AD⊥CD，BD⊥CD且AD∩BD=D，
∴AD⊥平面BCD，
又AD?平面ADF
∴平面ADF⊥平面BCD；
（2）由（1）知AD⊥平面BCD，EH∥AD，
∴EH⊥平面BCD，即EH⊥平面CDF，
則EH是三棱錐E-CDF的高，且EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×2=1$，
則V_C-DEF=V_E-CDF=$\frac{1}{3}$S_△CDF•EH=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$CD•FH•EH=$\frac{1}{6}$×2$\sqrt{3}$×1×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 
則A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
E（0，$\sqrt{3}$，1），F(xiàn)（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$=λ（-2，2$\sqrt{3}$，0），則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（2，0，-2）+（-2λ，2$\sqrt{3}$λ，0）=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2），
若AP⊥DE，
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DE}$=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2）•（0，$\sqrt{3}$，1）=0，
即6λ-2=0，則λ=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查面面垂直的判斷，三棱錐體積的計(jì)算以及直線垂直的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法把直線垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．