Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$-4，g（x）=kx+3．
（1）當(dāng)a=k=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a∈[3，4]時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，若不等式|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂）對(duì)任意x₁，x₂∈[2，4]（x₁＜x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=k=1代入函數(shù)，求出函數(shù)y=f（x）+g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；
（3）不等式等價(jià)于F（x）=|f（x）|-g（x）在[2，4]上遞增，顯然F（x）為分段函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性對(duì)每一段函數(shù)分析討論即可．

解答 解：（1）a=k=1時(shí)，y=f（x）+g（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1（x≠0），
y′=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$（x≠0），
令y′＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令y′＜0，解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$且x≠0，
故函數(shù)在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）遞增，在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減；
（2）∵a∈[3，4]，
∴y=f（x）在（1，$\sqrt{a}$）上遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）上遞增，
又∵f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），
∴f（m）≥f（1），解得（m-1）（m-a）≥0，
∴m≥a_max，即m≥4；
（3）∵|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），
∴|f（x₁）|-g（x₁）＜|f（x₂）|-g（x₂）恒成立，
令F（x）=|f（x）|-g（x），則F（x）在[2，4]上遞增．
對(duì)于F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-k）x-\frac{a}{x}+1，x∈[2，2+\sqrt{4-a}]}\\{（1-k）x+\frac{a}{x}-7，x∈（2+\sqrt{4-a}，4]}\end{array}\right.$，
（i）當(dāng)x∈[2，2+$\sqrt{4-a}$]時(shí)，F(xiàn)（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1，
①當(dāng)k=-1時(shí)，F(xiàn)（x）=-$\frac{a}{x}$+1在[2，2+$\sqrt{4-a}$]上遞增，所以k=-1符合；
②當(dāng)k＜-1時(shí)，F(xiàn)（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1在[2，2+$\sqrt{4-a}$]上遞增，所以k＜-1符合；
③當(dāng)k＞-1時(shí)，只需 $\sqrt{\frac{a}{k+1}}$≥2+$\sqrt{4-a}$，即 $\sqrt{\frac{1}{k+1}}$≥（$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{\frac{4}{a}-1}$）_max=2+$\sqrt{3}$，
所以-1＜k≤6-4$\sqrt{3}$，從而k≤6-4$\sqrt{3}$；
（ii）當(dāng)x∈（2+$\sqrt{4-a}$，4]時(shí)，F(xiàn)（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}$-7，
①當(dāng)k=1時(shí)，F(xiàn)（x）=$\frac{a}{x}$-7在（2+$\sqrt{4-a}$，4]上遞減，所以k=1不符合；
②當(dāng)k＞1時(shí)，F(xiàn)（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}$-7在（2+$\sqrt{4-a}$，4]上遞減，所以k＞1不符合；
③當(dāng)k＜1時(shí)，只需 $\sqrt{\frac{a}{1-k}}$≤2+$\sqrt{4-a}$，即 $\sqrt{\frac{1}{1-k}}$≤（$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{\frac{4}{a}-1}$）_min=1+$\sqrt{2}$，
所以k＜2$\sqrt{2}$-2，
綜上可知：k≤6-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題利用函數(shù)的單調(diào)性解決與最值、不等式的相關(guān)問題，考查分析、計(jì)算能力以及分類討論的思想，屬于難題．