Question

7．定義在R上的函數(shù)y=f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=4（1-|x-1|），且對任意實數(shù)x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N^*，n≥2），都有f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1）．若g（x）=f（x）-log_ax有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，10]
• B． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$]
• C． （2，10）
• D． [2，10）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分別作出函數(shù)f（x）和y=log_ax的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：當x∈[0，2]時，f（x）=4（1-|x-1|），
當n=2時，x∈[2，6]，此時$\frac{x}{2}$-1∈[0，2]，則f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$×4（1-|$\frac{x}{2}$-1-1|）=2（1-|$\frac{x}{2}$-2|），
當n=3時，x∈[6，14]，此時$\frac{x}{2}$-1∈[2，6]，則f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$×2（1-|$\frac{x}{4}$-$\frac{5}{2}$|）=1-|$\frac{x}{4}$-$\frac{5}{2}$|，
由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分別作出函數(shù)f（x）和y=log_ax的圖象，

若0＜a＜1，則此時兩個函數(shù)圖象只有1個交點，不滿足條件．
若a＞1，當對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過A時，兩個圖象只有2個交點，當圖象經(jīng)過點B時，兩個函數(shù)有4個交點，
則要使兩個函數(shù)有3個交點，則對數(shù)函數(shù)圖象必須在A點以下，B點以上，
∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），
即滿足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜f（4）}\\{lo{g}_{a}10＞f（10）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜2}\\{lo{g}_{a}10＞1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞4}\\{a＜10}\end{array}\right.$，
即2＜a＜10，
故選：C．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一點的難度．