Question

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，不等式x²＜log_a（x+1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)不等式恒成立得到，根據(jù)x的范圍，x²取最大即x為1時(shí)，得到的不等式成立，討論a大于1和小于1兩種情況，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性得到a的取值范圍．

解答： 解：∵不等式x²＜log_a（x+1）在（0，1）上恒成立，
∴l(xiāng)og_a²≥1²=1，
當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
根據(jù)log_a²≥log_a^a，得到1＜a≤2；
當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，
根據(jù)log_a²≥log_a^a，得到a≥2，而a＜1，所以無解．
所以不等式恒成立時(shí)，a的取值范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想，是中檔題．