Question

18．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=$\frac{3}{2}$且2S_n-S_n-1=n²+3n-1（n≥2），則a_n=2n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 2S_n-S_n-1=n²+3n-1（n≥2），可得S_n+a_n=n²+3n-1，n≥2時，S_n-1+a_n-1=（n-1）²+3（n-1）-1，相減可得：2a_n-a_n-1=2（n+1）．變形為：a_n-2n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-2（n-1）]．再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵2S_n-S_n-1=n²+3n-1（n≥2），
∴S_n+a_n=n²+3n-1，
n≥2時，S_n-1+a_n-1=（n-1）²+3（n-1）-1，
相減可得：2a_n-a_n-1=2（n+1）．
變形為：a_n-2n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-2（n-1）]．
∴數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列，首項為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴a_n-2n=$-\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
可得a_n=2n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案為：2n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．