Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，0＜x＜1時(shí)，顯然成立，x≥1時(shí)，得到x（x-2）lnx＞0，（0＜x＜1），設(shè)h（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=2（x-1）（lnx+a），（x＞0），
①a=0時(shí)，f′（x）=2（x-1）lnx，
0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
x=1時(shí)，f′（x）=0，故f（x）在（0，+∞）遞增；
②a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=e^-a，此時(shí)e^-a＜1，
易知f（x）在（0，e^-a）遞增，（e^-a，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
③a＜0時(shí)，e^-a＞0，易知f（x）在（0，1）遞增，（1，e^-a）遞減，（e^-a，+∞）遞增；
（Ⅱ）證明：a=0時(shí)，f（x）=（x²-2x）lnx-$\frac{1}{2}$x²+2x，
①若0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，
②x≥1時(shí)，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，+∞）遞增，則有f（x）≥f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，
故a=0時(shí)，對(duì)所有的x∈（0，+∞），f（x）＞0，
a＞0時(shí)，由（Ⅰ）得f（x）在（0，e^-a）遞增，（e^-a，1）遞減，（1，+∞）遞增，
且f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，故函數(shù)在（e^-a，+∞）上f（x）＞0，
下面考慮x∈（0，e^-a）時(shí)，此時(shí)0＜x＜1，
f（x）=x（x-2）lnx+（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a，
其中，x（x-2）lnx＞0，（0＜x＜1），
設(shè)h（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a，
則h′（x）=（2a-1）（x-1）+1，
若0＜a≤1，則0≤2a≤2，-1≤2a-1≤1，而-1＜x-1＜0，
故-1＜（2a-1）（x-1）＜1，
故（2a-1）（x-1）+1＞0，即h′（x）＞0，
此時(shí)h（x）在（0，1）遞增，故h（x）＞h（0）=a＞0，
若a＞1，則h（x）=（a-1）（x-1）²+$\frac{1}{2}$x²+1＞0，
綜上，二次函數(shù)h（x）＞0，（0＜x＜1），
故x∈（0，e^-a）?（0，1）時(shí)，總有f（x）＞0，
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．