Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin2x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=2，b=$\sqrt{6}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可得：sin（A+$\frac{π}{4}$）=1，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得A的值，利用余弦定理即可解得c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可得：sin（A+$\frac{π}{4}$）=1，
∵A∈（0，π），可得：A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴可得A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{4}$，
∵a=2，b=$\sqrt{6}$，
∴由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，可得：2²=（$\sqrt{6}$）²+c²-2×$\sqrt{6}$×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，整理可得：c²-2$\sqrt{3}$c+2=0，
∴解得：c=$\sqrt{3}$±1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．