Question

18．如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD'上，且AP≤$\frac{1}{2}$AD'則異面直線(xiàn)CP與BA'所成角θ的取值范圍是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 如圖，連結(jié)CD'，則異面直線(xiàn)CP與BA'所成的角θ等于∠D'CP，由圖可知，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，可得θ=$\frac{π}{3}$．當(dāng)P點(diǎn)無(wú)限接近D'點(diǎn)時(shí)，θ趨近于0，由于AP≤$\frac{1}{2}$AD'，故得P在AD'中點(diǎn)時(shí)，θ最小，即可得到范圍．

解答 解：如圖，ABCD-A'B'C'D'是正方體，連結(jié)CD'，則異面直線(xiàn)CP與BA'所成的角θ等于∠D'CP，
由圖可知，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，可得θ=$\frac{π}{3}$．
當(dāng)P點(diǎn)無(wú)限接近D'點(diǎn)時(shí)，θ趨近于0，
∵AP≤$\frac{1}{2}$AD'，故得P在AD'中點(diǎn)時(shí)，θ最小，
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則AD'=$\sqrt{2}$，CD'=$\sqrt{2}$，PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
AP=$\frac{1}{2}$AD'=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$cosθ=\frac{D′{C}^{2}+C{P}^{2}-D′{P}^{2}}{2D′C•CP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$θ=\frac{π}{6}$．
所以異面直線(xiàn)CP與BA'所成角θ的取值范圍是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
故答案為：[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間動(dòng)點(diǎn)的變化，異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題．找到所成的角，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)是，觀察角的變化情況．屬于中檔題．