Question

7．某高中學(xué)校為展示學(xué)生的青春風(fēng)采，舉辦了校園歌手大賽，該大賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參加決賽的學(xué)生按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序，通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等5名學(xué)生參加決賽．
（I）求決賽中學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位的概率；
（Ⅱ）若決賽中學(xué)生甲和學(xué)生乙之間間隔的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位”為事件A，先求出基本事件總數(shù)n=${A}_{5}^{5}$，再求出決賽中學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位包含聽基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出決賽中學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能的值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位”為事件A，
則$P（A）=\frac{A_2^2A_3^3}{A_5^5}=\frac{1}{10}$．（3分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能的值為0，1，2，3．（4分）
$P（X=0）=\frac{C_2^1A_4^4}{A_5^5}=\frac{2}{5}$，（5分）
$P（X=1）=\frac{C_3^1C_2^1A_3^3}{A_5^5}=\frac{3}{10}$，（7分）
$P（X=2）=\frac{C_3^2C_2^1C_2^1A_2^2}{A_5^5}=\frac{1}{5}$，（9分）
$P（X=3）=\frac{C_2^1A_3^3}{A_5^5}=\frac{1}{10}$．（10分）
隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

（11分）
∴$EX=0×\frac{2}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}=1$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．