Question

16．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E．M．N分別是BC．CD．SC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P的線段MN上運(yùn)動時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：
①EP⊥AC；   ②EP∥BD；③EP∥平面SBD；  ④EP⊥平面SAC
恒成立的是①③．（把正確的序號都填上）

Answer 1

分析 在①中：由已知得SO⊥AC．，AC⊥平面SBD，從而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線；在③中：由平面EMN∥平面SBD，從而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，從而得到EP與平面SAC不垂直．

解答 解：解：如圖所示，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN．
在①中：由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．
在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，
不可能EP∥BD，因此不正確；
在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正確．
在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，
因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直．即不正確．
∴恒成立的結(jié)論是：①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間線面、面面的位置關(guān)系判定，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．