【題目】對數(shù)列,規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列,其中,規(guī)定為的二階差分數(shù)列,其中.
(1)數(shù)列的通項公式,試判斷,是否為等差數(shù)列,請說明理由?
(2)數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,且,對于任意的,都存在,使得,求所有可能的取值構(gòu)成的集合;
(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且,對滿足,的任意正整數(shù)、、,都有,且不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.
【答案】(1),是等差數(shù)列,見解析(2);(3)2
【解析】
(1)根據(jù)題干中的定義,結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷.
(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得,結(jié)合題干可得,從而可得,且;分類討論、或即可求出.
(3)根據(jù)題中對數(shù)列的定義可得,從而可得,即是等差數(shù)列,根據(jù)數(shù)列為正項等差數(shù)列可得,代入等差數(shù)列前項和公式,由,可得,當(dāng)時,不等式都成立;當(dāng)時,令,,代入等差數(shù)列的前項和公式,作差,由,,即可求解.
解:(1)因為,所以,
則,又,所以是首項為3,公差為2的等差數(shù)列.
因為,則是首項為2,公差為0的等差數(shù)列.
(2)因為數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,所以.
又,
且對任意的,都存在,使得,
所以對任意的,都存在,使得,
即,因為,所以.
若,則,解得(舍)或,
即當(dāng)時,對任意的,都有.
若,則,解得(舍)或,
即當(dāng)時,對任意的,都有.
若,則,
故對任意的,不存在,使得.
綜上所述,所有可能的取值構(gòu)成的集合為;
(3)因為,所以,
則,所以是等差數(shù)列.
設(shè)的公差為,則.
若,則;
若,則當(dāng)時,,
與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾,故.
由等差數(shù)列前項和公式可得,
所以,
,
又,,
所以,
則當(dāng)時,不等式都成立.
另一方面,當(dāng)時,令,,
則,
,
則
,
因為,,
所以當(dāng)時,,即.不滿足任意性.
所以 .
綜上,的最大值為2.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強并嚴重危害人民生命安全,國家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機抽查了男、女居民各100名對志愿者所買生活用品滿意度的評價,得到下面的2×2列聯(lián)表.
特別滿意 | 基本滿意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被調(diào)查的男性居民中有5個年輕人,其中有2名對志愿者所買生活用品特別滿意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機抽取3人,求至多有1人特別滿意的概率.
(2)能否有99%的把握認為男、女居民對志愿者所買生活用品的評價有差異?
附:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以原點為極點,x軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.
(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程;
(2)若直線l:y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,點M的直角坐標為(1,0),求△PMQ的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,棱長為2,分別為棱的中點,為底面正方形內(nèi)一點(含邊界)且與面所成角的正切值為,直線與面的交點為,當(dāng)到的距離最小時,則四面體外接球的表面積為___________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若以O為極點,x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程;
(2)將所得曲線C向右平移1個單位長度,再將曲線C上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得到曲線,求曲線上的點到直線l的距離的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;
(2)當(dāng)時,求證:;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點,求實數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法:如圖1,用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形,每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長為,寬為內(nèi)接正方形的邊長.由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論,如圖3.設(shè)為斜邊的中點,作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線,過點作于點,則下列推理正確的是( )
①由圖1和圖2面積相等得;
②由可得;
③由可得;
④由可得.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)若是上的單調(diào)函數(shù),求的值;
(2)當(dāng)時,求證:若,且,則.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
①在中,“”是“”的必要不充分條件;
②若,的最小值為2;
③夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱;
④數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列的前項和.( )
A.0B.1C.2D.3
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com