Question

13．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得∠F₁PF₂=60°，|OP|=2b，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{7}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{42}}}{6}$

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義與余弦定理可得到a²與c²的關(guān)系，從而可求得該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)該雙曲線的離心率為e，依題意，||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，
不妨設(shè)|PF₁|²+|PF₂|²=m，|PF₁|•|PF₂|=n，
上式為：m-2n=4a²，①
∵∠F₁PF₂=60°，
∴在△F₁PF₂中，
由余弦定理得，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°=4c²，②
即m-n=4c²，②
又|OP|=3b，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$²+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$²+2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|•cos60°=4|$\overrightarrow{PO}$|²=36b²，
即|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁|•|PF₂|=36b²，
即m+n=36b²，③
由②+③得：2m=4c²+36b²，
①+③×2得：3m=4a²+72b²，
于是有12c²+108b²=8a²+144b²，
3c²=2a²+9b²=2a²+9c²-9a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{6}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{42}}{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義與余弦定理的應(yīng)用，得到a²與c²的關(guān)系是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．