Question

6．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用兩個向量的數量積公式，以及兩個向量的夾角公式，求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角的余弦值，可得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：∵已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，
設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ，θ∈[0，π]，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{1•\sqrt{{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}}}$
=$\frac{1-1•1•cos\frac{π}{3}}{\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-2•1•1•cos\frac{π}{3}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查用數量積表示兩個兩個向量的夾角，兩個向量的數量積公式，屬于基礎題．