Question

1．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，滿足sin²A+sin²C-sin²B=$\sqrt{3}$sinA•sinC
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）點D在線段BC上，滿足DA=DC，且a=11，cos（A-C）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求線段DC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據正弦定理以及余弦定理可得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出B的值，
（Ⅱ）根據正弦定理和三角形的關系即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理及sin²A+sin²C-sin²B=$\sqrt{3}$sinA•sinC可得，
a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B∈（0，π），
（Ⅱ）由條件∠BAD=∠A-∠C，
由cos（A-C）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$可得sin（A-C）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
設AD=x，則CD=x，BD=11-x，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sinB}$，
故$\frac{11-x}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{x}{\frac{1}{2}}$，解得x=4$\sqrt{5}$-5，
所以AD=DC=4$\sqrt{5}$-5

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．