Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=x-1，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=5-x上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出圓心坐標(biāo)，可得圓的方程，再設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得切線方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，利用MA=2MO，尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題設(shè)，圓心C在y=x-1上，也在直線y=5-x上，
解得x=3，y=2，∴C（3，2），
∴圓C：（x-3）²+（y-2）²=1；
由題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，過(guò)A點(diǎn)切線方程可設(shè)為y=kx+3，
即kx-y+3=0，則$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
對(duì)應(yīng)的直線方程為y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3；
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x=0不與圓相切，
故所求切線方程為y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3，
即y-3=0或3x+4y-12=0；
（2）設(shè)點(diǎn)C（a，a-1），M（x₀，y₀），則
∵M(jìn)A=2MO，A（0，3），O（0，0），
∴x02+（y0-3）2=4（x02+y02），
即x02+y02=3-2y0，
又點(diǎn)M在圓C上，∴${{（x}_{0}-a）}^{2}$+${{（y}_{0}-a+1）}^{2}$=1，
∴M點(diǎn)為x02+y02=3-2y0與${{（x}_{0}-a）}^{2}$+${{（y}_{0}-a+1）}^{2}$=1的交點(diǎn)，
若存在這樣的點(diǎn)M，則x02+y02=3-2y0與${{（x}_{0}-a）}^{2}$+${{（y}_{0}-a+1）}^{2}$=1有交點(diǎn)，
即兩圓的圓心距d滿足：1≤d≤3，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}{+（a-2）}^{2}}$≤3，
即1≤2a²-4a+4≤9，
解得1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤a≤1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
即a的取值范圍是[1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力與分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于綜合性題目．