Question

9．在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，曲線ρ=2cosθ和直線ρcosθ=a相交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB是等邊三角形，則a的值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出曲線的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x=0，直線的直角坐標(biāo)方程為：x=a，作出圖形，利用勾股定理能求出a的值．

解答 解：∵曲線ρ=2cosθ和直線ρcosθ=a，
∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x=0，
直線的直角坐標(biāo)方程為：x=a，
∵曲線ρ=2cosθ和直線ρcosθ=a相交于A，B兩點(diǎn)．△AOB是等邊三角形，
∴如圖，設(shè)OC=a，BC=b，則$\sqrt{3}b$=a，解得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），∴${a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}-2×a=0$，
解得a=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．