Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+2．
（1）求證：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=n（a_n+2），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）將數(shù)列遞推式兩邊同時加上2，化簡后再作商可得數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，
（2）根據(jù)錯位相減法求和即可．

解答 解：（1）由題意知a_n+1=2a_n+2，則a_n+1+2=2a_n+4=2（a_n+2），
∵a₁=1，
∴a₁+2=3，
∴數(shù)列{a_n+2}是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=3×2^n-1，
則a_n=3×2^n-1-2，
（2）b_n=n（a_n+2）=3n×2^n-1，
∴$\frac{1}{3}$T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，
∴$\frac{2}{3}$T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）2^n-1+n×2ⁿ，
∴-$\frac{1}{3}$T_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n×2ⁿ=2ⁿ（1-n）-1，
∴T_n=2ⁿ（3n-3）+3．

點評 本題考查了構(gòu)造新的等比數(shù)列求出通項問題，數(shù)列的遞推公式為：a_n+1=Aa_n+B，其中A和B是常數(shù)，構(gòu)造出 a_n+1+k=A（a_n+k）式子，再證明數(shù)列{a_n+k}是等比數(shù)列即可，以及錯位相減法求和，屬于中檔題．