Question

1．定義區(qū)間[x₁，x₂]的長度為x₂-x₁（x₂＞x₁）單調遞增），函數(shù)$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}$（a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]（n＞m），則區(qū)間[m，n]取最大長度時實數(shù)a的值（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． -3
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 由題意求出f（x）的定義域并化簡解析式，判斷出區(qū)間的范圍和f（x）的單調性，由題意列出方程組，轉化為m，n是方程f（x）的同號的相異實數(shù)根，利用韋達定理表示出mn和m+n，由判別式大于零求出a 的范圍，表示出n-m利用配方法化簡后，由二次函數(shù)的性質求出最大值和a的值．

解答 解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}，
∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
∵f（x）=$（1+\frac{1}{a}）-\frac{1}{{a}^{2}x}$在[m，n]上是增函數(shù)，
∴由條件得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，則m，n是方程f（x）=x的同號相異的實數(shù)根，
即m，n是方程（ax）²-（a²+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根．
∴mn=$\frac{1}{{a}^{2}}＞0$，m+n=$\frac{{a}^{2}+a}{{a}^{2}}$=$\frac{a+1}{a}$，
則△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3．
∴n-m=$\sqrt{（n+m）^{2}-4mn}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+2a-3}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}+1}$
=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
∴n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時$\frac{1}{a}=\frac{1}{3}$，解得a=3，
即在區(qū)間[m，n]的最大長度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，a的值是3．
故選D．．

點評 本題考查函數(shù)與方程的關系及其轉化，函數(shù)單調性、值域，一元二次函數(shù)的性質，以及韋達定理的綜合應用，考查化簡、變形能力．