Question

6．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，1），B（1，0），C（0，-2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|$\overrightarrow{CM}$|=1，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\sqrt{7}+1$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{7}$-1

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），由兩點(diǎn)之間的距離公式化簡(jiǎn)|$\overrightarrow{CM}$|=1，判斷出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$，表示出|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|并判斷幾何意義，轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問題，即可求出答案．

解答 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），
∵C（0，-2），且|$\overrightarrow{CM}$|=1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}=1$，則x²+（y+2）²=1，
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心、1為半徑的圓，
∵A（0，1），B（1，0），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$=（x+1，y+1），
則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$，幾何意義表示：
點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)A（-1，-1）之間的距離，即圓C上的點(diǎn)與點(diǎn)A（-1，-1）的距離，
∵點(diǎn)A（-1，-1）在圓C外部，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是|AC|+1=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-2+1）^{2}}$+1=$\sqrt{2}+1$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模，動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及軌跡方程，兩點(diǎn)之間的距離公式，以及圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想．