Question

5．已知直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），交拋物線于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P，Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出p=2，即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及準(zhǔn)線方程．
（Ⅱ）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為$（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，由M、O、P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為$（-1，-\frac{4}{y_1}）$，由M、O、Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)為$（-1，-\frac{4}{y_2}）$，設(shè)直線MN的方程為x=my+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式，求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵焦點(diǎn)F（1，0），∴$\frac{p}{2}=1$，p=2，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x，準(zhǔn)線方程為x=-1．
（Ⅱ）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為$（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由M、O、P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為$（-1，-\frac{4}{y_1}）$，
由M、O、Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)為$（-1，-\frac{4}{y_2}）$，
設(shè)直線MN的方程為x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
則$|PQ|=|\frac{4}{y_2}-\frac{4}{y_1}|=\frac{{4|{y_1}-{y_2}|}}{{|{y_1}{y_2}|}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{16{m^2}+16}=4\sqrt{{m^2}+1}$，
當(dāng)m=0時(shí)，|PQ|_min=4．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線方程的求法，弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．